三大经典偏微分方程的分离变量法

本文作为 UM-SIN2004 课程内容的归纳总结，只讨论二阶偏微分方程边值问题的分离变量法。当然，除了分离变量法还有极坐标系、格林函数法等等。

我们先来看一下这三类方程模型和应用场景：

1. 分离变量法通用框架

1.1 核心思想

分离变量法（Separation of Variables）通过假设解为单变量函数的乘积，将偏微分方程转化为常微分方程组：

适用条件：

• 线性齐次PDE
• 边界条件可分离
• 定义域规则（矩形、圆形等）

1.2 通用求解步骤

1. 变量分离：设解为乘积形式，代入原方程
2. 常微分方程：整理得到关于各变量的ODE
3. 本征值问题：通过边界条件求解空间部分
4. 时间演化：根据PDE类型确定时间部分解
5. 叠加解：线性组合所有本征模
6. 系数确定：利用初始/边界条件展开

2. 波动方程求解（一维弦振动）

2.1 定解问题

2.2 求解过程

1. 分离变量：设 $u(x,t) = X(x)T(t)$，得：

   $$\frac{T''}{c^2 T} = \frac{X''}{X} = -\lambda$$

2. 空间部分：

   $$X'' + \lambda X = 0 \Rightarrow X_n(x) = \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \quad \lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2$$

3. 时间部分：

   $$T_n'' + c^2\lambda_n T_n = 0 \Rightarrow T_n(t) = A_n \cos\left(\frac{n\pi c t}{L}\right) + B_n \sin\left(\frac{n\pi c t}{L}\right)$$

4. 通解：

   $$u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty \left[ A_n \cos\left(\frac{n\pi c t}{L}\right) + B_n \sin\left(\frac{n\pi c t}{L}\right) \right] \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$$

5. 系数确定：

   • $A_n$ 来自 $\phi(x)$ 的傅里叶正弦展开
   • $B_n$ 来自 $\psi(x)$ 的傅里叶正弦展开

3. 热传导方程求解（一维杆）

3.1 定解问题

3.2 求解过程

1. 分离变量：设 $u(x,t) = X(x)T(t)$，得：

   $$\frac{T'}{\alpha T} = \frac{X''}{X} = -\lambda$$

2. 空间部分（同波动方程）：

   $$X_n(x) = \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$$

3. 时间部分：

   $$T_n(t) = C_n e^{-\alpha \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 t}$$

4. 通解：

   $$u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty C_n e^{-\alpha \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 t} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$$

5. 系数确定：

   • $C_n$ 来自 $f(x)$ 的傅里叶正弦展开

4. 拉普拉斯方程求解（矩形域）

4.1 定解问题

4.2 求解过程

1. 分离变量：设 $u(x,y) = X(x)Y(y)$，得：

   $$\frac{X''}{X} = -\frac{Y''}{Y} = -\lambda$$

2. x方向：

   $$X_n(x) = \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right), \quad \lambda_n = \left(\frac{n\pi}{a}\right)^2$$

3. y方向：

   $$Y_n(y) = D_n \sinh\left(\frac{n\pi y}{a}\right)$$

4. 通解：

   $$u(x,y) = \sum_{n=1}^\infty D_n \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) \sinh\left(\frac{n\pi y}{a}\right)$$

5. 系数确定：

   • 通过 $g(x)$ 的傅里叶正弦展开求 $D_n$

参考